Symmetrie in klok

In een andere post kun je lezen hoe je de hoek tussen de wijzers van een klok berekent.

Wanneer staan beide wijzers even ver van de 12?

Dat is bijvoorbeeld niet om kwart voor drie. De grote wijzer staat op dat moment precies op de 9, en dus 90 graden vanaf verticaal omhoog, oftewel 12. De kleine wijzer staat niet precies op de 3, want het is nog geen drie uur.

Om 5 voor 1 lijken ze wel symmetrisch te staan ten opzichte van elkaar. Dat is niet zo. De grote wijzer staat dan op de 11 en dus 30 graden vanaf de 12. Hoe later het wordt, hoe kleiner de hoek tot 12 zal worden. De kleine wijzer staat bijna op de 1. Het duurt nog 5 minuten voor die er is, want het is 5 voor 1. In een uur zitten 60 minuten en de kleine wijzer moet nog maar 5 minuten. Dat is dus een twaalfde deel van een uur. De kleine wijzer moet dus ook een twaalfde deel van 30 graden nog afleggen. 30 : 12 = 2,5 graden De kleine wijzer maakt dus een hoek van 30 – 2,5 = 27,5 graden met de 12. Hoe later het wordt, hoe groter die hoek zal worden.

In de andere post kun je zien waarom de kleine wijzer per minuut 0,5 graden aflegt en de grote 6 graden per minuut. Hierboven staat dat de hoek van de grote wijzer tot de 12 nog 30 graden is en steeds kleiner zal worden. Hierbij hoort: hoek tot 12 = 30 – 6x waarbij x het aantal minuten is. De kleine wijzer maakt een hoek van 27,5 graden en die hoek wordt steeds groter, hier hoort bij: hoek tot 12 = 27,5 + 0,5x en ook hier is x het aantal minuten. Wanneer je deze twee formules combineert tot 1 vergelijking, kun je berekenen hoe groot x is en dus wanneer beide wijzers dezelfde hoek maken met 12. Die vergelijking is:

27,5 + 0,5x = 30 – 6x

Links en rechts tel je er 6x bij op, het wordt dan:

27,5 + 6,5x = 30

Links en rechts haal je er 27,5 af, het wordt dan:

6,5x = 2,5

Tenslotte deel je links en rechts door 6,5. De oplossing is dan:

x = 2,5 : 6,5 oftewel 5/13 (de breuk vijf dertiende).

We rekenden vanaf vijf voor 1. Een gedeelte van een minuut (5 dertiende deel om precies te zijn) later maken de wijzers dus dezelfde hoek met de verticale stand, oftewel met 12.

Advertenties

De abc-formule en de discriminant

Stel dat je deze vergelijking op moet lossen.

SAMSUNG CSC

Je hebt geleerd dat je de linkerkant anders gaat schrijven mbv de som-product methode. Maar dat betekent dat je nu eerst de – vooraan wegwerkt en dan dus 2 getallen zoekt, die vermenigvuldigd -101 zijn en opgeteld -3. Dat gaat moeilijk worden! Daarom is er de abc-formule.

SAMSUNG CSC

Hoe werkt die? Eerst schrijf je op hoeveel a (getal voor x kwadraat), b (getal voor x) en c (getal zonder x) zijn.
Nu zijn dat de volgende getallen:
a = -1
b = 3
c = 101

Dan ga je D berekenen.

SAMSUNG CSC

Deze D vul je nu in bij het volgende stuk en ook a en b heb je nog een keer nodig. Het wordt dan:

SAMSUNG CSC

We komen dan uit op de volgende uitkomsten:
x ≈ 11,66 ⋁ x ≈ -8,66
Het tekentje ⋁ betekent OF.

Je kunt de abc-formule ook gebruiken als je de som-product methode moeilijk vindt.

Voorbeeld:

SAMSUNG CSC

Eerst weer a, b en c.

SAMSUNG CSC

Vervolgens D berekenen.

SAMSUNG CSC

En dit weer invullen.

SAMSUNG CSC

x = 8 ⋁ x = -10

Dat de oplossing hele getallen laat zien, geeft aan dat de som-product methode wel gebruikt had kunnen worden.

SAMSUNG CSC

En we komen inderdaad op hetzelfde uit!

Maar wat hebben we nou eigenlijk berekend in alle bovenstaande situaties?

Nog even terug naar het begin. We moesten oplossen:

SAMSUNG CSC

Dat betekent dat we moesten berekenen waar de snijpunten met de x-as liggen. Die hebben we gevonden, namelijk x ≈ 11,66 ⋁ x ≈ -8,66.

Je kunt zien of het een dal- of een bergparabool is.

SAMSUNG CSC

a<0, oftewel a is een negatief getal, kleiner dan 0

In dat geval is het dus een bergparabool. In een tekening zou het er zou uitzien:

SAMSUNG CSC

Omdat het niet allemaal heel precies is, noemen we dit geen tekening, maar een schets. We kunnen in deze schets de ligging van de parabool zien t.o.v. de x-as, namelijk een bergparabool met 2 snijpunten.

Dit is dan 1 specifiek geval, maar we kunnen een aantal standaard situaties noteren:

We weten in ieder geval dat de parabool een berg- of een dalparabool kan zijn, te zien aan welk getal a is (negatief of positief). Maar die parabool kan op 3 verschillende manieren t.o.v. de x-as liggen. Welke 3 verschillende manieren zijn dat?

Tot nu toe kwamen we voor D steeds uit op een positief getal. Maar D kan natuurlijk ook een negatief getal zijn. Of geen van beide, dus 0.

Wanneer D positief is, komt er een punt dat je moet berekenen

… ± √D

dus plus de wortel van D

of

min de wortel van D

Dat levert natuurlijk 2 verschillende uitkomsten op, en dus 2 snijpunten met de x-as.

Maar wat als D=0?

Dan kun je best plus of min doen, maar dan komt er hetzelfde uit. Je hebt dan dus eigenlijk maar 1 oplossing, en dus 1 snijpunt met de x-as.

En wat als D negatief is? Dan moet je de wortel van een negatief getal berekenen. Dat kan helemaal niet. Er zijn dan dus geen oplossingen, dus geen snijpunten met de x-as.

Dit gaan we allemaal in een schema zetten:

SAMSUNG CSC

Bovenaan zien we een dalparabool, dus a>o. Verder zien we 2 snijpunten met de x-as, dus D>0.

Onderaan zien we een bergparabool, dus a<0. Verder zien we 2 snijpunten met de x-as, dus D>0.

Volgende mogelijkheid:

SAMSUNG CSC

Dalparabool, dus a>0 en 1 snijpunt met de x-as, dus D=0.

1 snijpunt met de x-as omschrijven we ook wel als:

de parabool raakt de x-as.

SAMSUNG CSC

Dalparabool, dus a>0 en 0 snijpunten met de x-as, dus D<0.

We missen er nog 2, bedenk zelf eerst of je weet welke.

SAMSUNG CSC

Bergparabool, dus a<0.

0 snijpunten met de x-as, dus D<0.

Laatste:

SAMSUNG CSC

Bergparabool die de x-as raakt, dus a<0 en D=0.

Omdat D dit onderscheid maakt, noemen we D de discriminant.