Oefening: Kwadratische formules en ongelijkheden

IMG_8468

Antwoorden/uitwerkingen:

IMG_8509

IMG_8507

IMG_8508

IMG_8516

IMG_8515

IMG_8514

Advertenties

Kwadratische vergelijking oplossen

Stel dat we deze vergelijking op moeten lossen:

SAMSUNG CSC

We moeten deze vergelijking dan anders gaan schrijven, maar hoe? Wanneer we dit zien:

a × b = 0

dan weten we:

a = 0 of b = 0.

Bij een vermenigvuldiging waar 0 uitkomt, moet altijd minstens 1 vd 2 factoren 0 zijn.

Terug naar de vergelijking waar we mee begonnen. Die moeten we dus als iets × iets anders gaan schrijven. We gaan de som-product methode gebruiken. Daar staat er namelijk:

(x …)(x …) = 0

Tussen de haakjes zien we niets, maar daar staat eigenlijk een ×.

We kunnen de vergelijking op de volgende manier schrijven:

SAMSUNG CSC

En vervolgens zien we:

het eerste gedeelte is 0 (dus x + 4 = 0) of het tweede gedeelte is 0 (dus x + 5 = 0).

Lossen we dat verder op dan komen we uit op x = -4 of x = – 5. Er moet OF tussen staan, want x kan niet tegelijk -4 en -5 zijn.

De abc-formule en de discriminant

Stel dat je deze vergelijking op moet lossen.

SAMSUNG CSC

Je hebt geleerd dat je de linkerkant anders gaat schrijven mbv de som-product methode. Maar dat betekent dat je nu eerst de – vooraan wegwerkt en dan dus 2 getallen zoekt, die vermenigvuldigd -101 zijn en opgeteld -3. Dat gaat moeilijk worden! Daarom is er de abc-formule.

SAMSUNG CSC

Hoe werkt die? Eerst schrijf je op hoeveel a (getal voor x kwadraat), b (getal voor x) en c (getal zonder x) zijn.
Nu zijn dat de volgende getallen:
a = -1
b = 3
c = 101

Dan ga je D berekenen.

SAMSUNG CSC

Deze D vul je nu in bij het volgende stuk en ook a en b heb je nog een keer nodig. Het wordt dan:

SAMSUNG CSC

We komen dan uit op de volgende uitkomsten:
x ≈ 11,66 ⋁ x ≈ -8,66
Het tekentje ⋁ betekent OF.

Je kunt de abc-formule ook gebruiken als je de som-product methode moeilijk vindt.

Voorbeeld:

SAMSUNG CSC

Eerst weer a, b en c.

SAMSUNG CSC

Vervolgens D berekenen.

SAMSUNG CSC

En dit weer invullen.

SAMSUNG CSC

x = 8 ⋁ x = -10

Dat de oplossing hele getallen laat zien, geeft aan dat de som-product methode wel gebruikt had kunnen worden.

SAMSUNG CSC

En we komen inderdaad op hetzelfde uit!

Maar wat hebben we nou eigenlijk berekend in alle bovenstaande situaties?

Nog even terug naar het begin. We moesten oplossen:

SAMSUNG CSC

Dat betekent dat we moesten berekenen waar de snijpunten met de x-as liggen. Die hebben we gevonden, namelijk x ≈ 11,66 ⋁ x ≈ -8,66.

Je kunt zien of het een dal- of een bergparabool is.

SAMSUNG CSC

a<0, oftewel a is een negatief getal, kleiner dan 0

In dat geval is het dus een bergparabool. In een tekening zou het er zou uitzien:

SAMSUNG CSC

Omdat het niet allemaal heel precies is, noemen we dit geen tekening, maar een schets. We kunnen in deze schets de ligging van de parabool zien t.o.v. de x-as, namelijk een bergparabool met 2 snijpunten.

Dit is dan 1 specifiek geval, maar we kunnen een aantal standaard situaties noteren:

We weten in ieder geval dat de parabool een berg- of een dalparabool kan zijn, te zien aan welk getal a is (negatief of positief). Maar die parabool kan op 3 verschillende manieren t.o.v. de x-as liggen. Welke 3 verschillende manieren zijn dat?

Tot nu toe kwamen we voor D steeds uit op een positief getal. Maar D kan natuurlijk ook een negatief getal zijn. Of geen van beide, dus 0.

Wanneer D positief is, komt er een punt dat je moet berekenen

… ± √D

dus plus de wortel van D

of

min de wortel van D

Dat levert natuurlijk 2 verschillende uitkomsten op, en dus 2 snijpunten met de x-as.

Maar wat als D=0?

Dan kun je best plus of min doen, maar dan komt er hetzelfde uit. Je hebt dan dus eigenlijk maar 1 oplossing, en dus 1 snijpunt met de x-as.

En wat als D negatief is? Dan moet je de wortel van een negatief getal berekenen. Dat kan helemaal niet. Er zijn dan dus geen oplossingen, dus geen snijpunten met de x-as.

Dit gaan we allemaal in een schema zetten:

SAMSUNG CSC

Bovenaan zien we een dalparabool, dus a>o. Verder zien we 2 snijpunten met de x-as, dus D>0.

Onderaan zien we een bergparabool, dus a<0. Verder zien we 2 snijpunten met de x-as, dus D>0.

Volgende mogelijkheid:

SAMSUNG CSC

Dalparabool, dus a>0 en 1 snijpunt met de x-as, dus D=0.

1 snijpunt met de x-as omschrijven we ook wel als:

de parabool raakt de x-as.

SAMSUNG CSC

Dalparabool, dus a>0 en 0 snijpunten met de x-as, dus D<0.

We missen er nog 2, bedenk zelf eerst of je weet welke.

SAMSUNG CSC

Bergparabool, dus a<0.

0 snijpunten met de x-as, dus D<0.

Laatste:

SAMSUNG CSC

Bergparabool die de x-as raakt, dus a<0 en D=0.

Omdat D dit onderscheid maakt, noemen we D de discriminant.