Sinus: Zijden berekenen

Wanneer je in een rechthoekige driehoek de grootte van minstens 2 hoeken weet en de lengte van 1 bepaalde zijde weet, kun je met sinus de lengte van een andere zijde berekenen.

Regel:
Sinus = overstaande rechthoekszijde : langste zijde.
Korter:
Sin = o : l.
Wanneer je o weet, kun je l berekenen en wanneer je l weet, kun je o berekenen.

Voorbeeld:
SAMSUNG CSC
We weten: ∠E = 33˚. Zijde DF zit vast aan de rechte hoek en ligt tegenover de bekende hoek (∠E), dus zijde DF is de overstaande rechthoekszijde. Zijde DE is de langste zijde, die kunnen we nu dus berekenen.
Sin = o : l
Sin ∠E = DF : DE
Sin 33˚ = 5 : DE
4 = 8 : 2
DE staat op dezelfde plaats als het getal 2.
2 = 8 : 4
DE = 5 : sin 33˚ ≈ 9,18

Nog een voorbeeld:
SAMSUNG CSC
We kijken vanuit ∠Q, want die weten we. Zijde PR staat er tegenover en ligt vast aan de rechte hoek, dus zijde PR is de overstaande rechthoekszijde. Zijde QR is de langste zijde.
Sin = o : l
Sin ∠Q = PR : QR
Sin 41˚ = PR : 7
4 = 8 : 2
8 = 2 x 4
PR = 7 x sin 41˚ ≈ 4,59

Advertenties

Cosinus: Zijden berekenen

Wanneer je in een rechthoekige driehoek de grootte van minstens 2 hoeken weet en de lengte van 1 bepaalde zijde, kun je met cosinus berekenen hoelang een andere zijde is.

Regel:
Cosinus = aanliggende rechthoekszijde : langste zijde.
Korter:
Cos = a : l.
Wanneer je a weet, kun je l berekenen en wanneer je l weet, kun je a berekenen.

Voorbeeld:
SAMSUNG CSC
We weten: ∠A = 21˚. Zijde AC ligt aan deze hoek die we weten en ook aan de rechte hoek, dus zijde AC is de aanliggende rechthoekszijde. Zijde AB is de langste zijde van de 3, deze kunnen we dus gaan berekenen.
Cos = a : l
Cos ∠A = AC : AB
Cos 21˚ = 18 : AB
4 = 8 : 2
We moeten AB weten, die staat op dezelfde plaats als de 2.
2 = 8 : 4
AB = 18 : cos 21˚ ≈ 19,28

Nog een voorbeeld:
SAMSUNG CSC
We kijken vanuit de hoek die we weten, dat is nu ∠K. KH is de aanliggende rechthoekszijde, GK is de langste zijde.
Cos = a : l
Cos ∠K = KH : GK
Cos 70˚ = KH : 12
4 = 8 : 2
8 = 2 x 4
KH = 12 x cos 70˚ ≈ 4,10

Tangens: Zijden berekenen

Wanneer je in een rechthoekige driehoek de grootte van minstens 2 hoeken weet en de lengte van 1 rechthoekszijde weet, kun je met tangens berekenen hoelang de andere rechthoekszijde is.

Voorbeeld 1
SAMSUNG CSC
In de driehoek hierboven weten we 2 hoeken: ∠D = 90˚ en ∠F = 73˚.
Zijde DE zit vast aan de rechte hoek, dit is dus een rechthoekszijde. De lengte van DE = 11.

Regel:
Tangens = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde.

Overstaand betekent: tegenover de hoek die je weet of wilt weten.
Aanliggend betekent: ligt aan de hoek die je weet of wilt weten.

In deze driehoek weten we ∠F. Tegenover ∠F ligt zijde DE, dat is dus de overstaande rechthoekszijde.
Aan ∠F liggen 2 zijden, namelijk DF en EF. Alleen zijde DF ligt ook aan de rechte hoek, dus DF is de aanliggende rechthoekszijde.

Nu kunnen we dus schrijven:
tan ∠F = DE : DF

We vullen alle getallen in die we weten:
tan 73˚ = 11 : DF

Geheugensteuntje: schrijf een makkelijke deling op, bv.:
4 = 8 : 2

Je kijkt nu waar DF staat, die staat op dezelfde plaats als 2. Om 2 te krijgen, moet je 8 : 4. Nu kijken we wat bij tan op die plaatsen staat. We schrijven het dan als volgt:
11 : tan 73˚
Dit typen we in op de rekenmachine (controleer of die op D staat) en de uitkomst is ongeveer 3,36.
Voor de zekerheid kijken we nog even in de tekening of dit zou kunnen kloppen:
DF is een stuk korter dan DE en 3,36 is een stuk minder dan 11, dus het klopt!

Voorbeeld 2
SAMSUNG CSC
In deze driehoek weten we:
∠A = 26˚, ∠B = 90˚ en zijde AB = 7.
We kijken vanuit hoek A. Tegenover hoek A ligt zijde BC, dus BC is de overstaande rechthoekszijde. Aan ∠A liggen 2 zijden, maar slechts 1 daarvan zit ook nog eens vast aan de rechte hoek. Zijde AB is de aanliggende rechthoekszijde. Dus:
tan ∠A = BC : AB
tan 26˚ = BC : 7
4 = 8 : 2
Nu moeten we BC weten, die staat op de plaats van 8 en 8 = 2 x 4, dus:
BC = 7 x tan 26˚ ≈ 3,41.
Nog even controleren of het kan kloppen in de tekening:
BC is korter dan AB en 3,41 is minder dan 7, dus het klopt.